حل {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-6$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-8y=10$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$x=8y+10$$

عوّض عن x بالقيمة 8y+10 في المعادلة الأخرى، -5x+10y=10.

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

اضرب -5 في 8y+10.

$$-40y-50+10y=10$$

اجمع -40y مع 10y.

$$-30y-50=10$$

أضف 50 إلى طرفي المعادلة.

$$-30y=60$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=8y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=8\left(-2\right)+10$$

اضرب 8 في -2.

$$x=-16+10$$

اجمع 10 مع -16.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-6,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

لجعل x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

تبسيط.

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

اطرح -5x+10y=10 من -5x+40y=-50 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

اجمع -5x مع 5x. حذف الحدين -5x و5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y-10y=-50-10$$

اجمع 40y مع -10y.

$$30y=-50-10$$

اجمع -50 مع -10.

$$30y=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -5x+10y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

اضرب 10 في -2.

$$-5x-20=10$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$-5x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-2$$