حل {l}{x-3.5y=2}{x-2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3.5 y = 2 } \\ { x - 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{104}{3} = 34\frac{2}{3} \approx 34.666666667$$

$$y = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3.5y=2$$

أضف \frac{7y}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$x=3.5y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، x-2y=16.

$$3.5y+2-2y=16$$

اجمع \frac{7y}{2} مع -2y.

$$1.5y+2=16$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$1.5y=14$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{28}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{28}{3} في x=3.5y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3.5\times \frac{28}{3}+2$$

اضرب 3.5 في \frac{28}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{98}{3}+2$$

اجمع 2 مع \frac{98}{3}.

$$x=\frac{104}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3.5\right)}&-\frac{-3.5}{-2-\left(-3.5\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\times 2+\frac{7}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{104}{3}\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

اطرح x-2y=16 من x-3.5y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x-3.5y+2y=2-16$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3.5y+2y=2-16$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع 2y.

$$-1.5y=2-16$$

اجمع 2 مع -16.

$$-1.5y=-14$$

اقسم طرفي المعادلة على -1.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{28}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{28}{3} في x-2y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times \frac{28}{3}=16$$

اضرب -2 في \frac{28}{3}.

$$x-\frac{56}{3}=16$$

أضف \frac{56}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{104}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$