حل {l}{x-2y=6}{2x+y=-31}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = 6 } \\ { 2 x + y = - 31 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{56}{5} = -11\frac{1}{5} = -11.2$$

$$y = -\frac{43}{5} = -8\frac{3}{5} = -8.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=6,2x+y=-31$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=6$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+6$$

عوّض عن x بالقيمة 6+2y في المعادلة الأخرى، 2x+y=-31.

$$2\left(2y+6\right)+y=-31$$

اضرب 2 في 6+2y.

$$4y+12+y=-31$$

اجمع 4y مع y.

$$5y+12=-31$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$5y=-43$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-\frac{43}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{43}{5} في x=2y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-\frac{43}{5}\right)+6$$

اضرب 2 في -\frac{43}{5}.

$$x=-\frac{86}{5}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{86}{5}.

$$x=-\frac{56}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{56}{5},y=-\frac{43}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=6,2x+y=-31$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{2}{5}\left(-31\right)\\-\frac{2}{5}\times 6+\frac{1}{5}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{5}\\-\frac{43}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{56}{5},y=-\frac{43}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=6,2x+y=-31$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 6,2x+y=-31$$

تبسيط.

$$2x-4y=12,2x+y=-31$$

اطرح 2x+y=-31 من 2x-4y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-4y-y=12+31$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-y=12+31$$

اجمع -4y مع -y.

$$-5y=12+31$$

اجمع 12 مع 31.

$$-5y=43$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-\frac{43}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{43}{5} في 2x+y=-31. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{43}{5}=-31$$

أضف \frac{43}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{112}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{56}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{56}{5},y=-\frac{43}{5}$$