حل {l}{x-2y=1}{x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = 1 } \\ { x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+1$$

عوّض عن x بالقيمة 2y+1 في المعادلة الأخرى، x+2y=3.

$$2y+1+2y=3$$

اجمع 2y مع 2y.

$$4y+1=3$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$4y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=2y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\times \frac{1}{2}+1$$

اضرب 2 في \frac{1}{2}.

$$x=1+1$$

اجمع 1 مع 1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

اطرح x+2y=3 من x-2y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x-2y-2y=1-3$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-2y=1-3$$

اجمع -2y مع -2y.

$$-4y=1-3$$

اجمع 1 مع -3.

$$-4y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times \frac{1}{2}=3$$

اضرب 2 في \frac{1}{2}.

$$x+1=3$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$