حل {l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح mx من الطرفين.

$$y-mx=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

أوجد قيمة y+\left(-m\right)x=0 لـ y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+\left(-m\right)x=0$$

اطرح \left(-m\right)x من طرفي المعادلة.

$$y=mx$$

عوّض عن y بالقيمة mx في المعادلة الأخرى، x^{2}+y^{2}=R^{2}.

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

مربع mx.

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

اجمع x^{2} مع m^{2}x^{2}.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

اطرح R^{2} من طرفي المعادلة.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1+1m^{2} وعن b بالقيمة 1\times 0\times 2m وعن c بالقيمة -R^{2} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

مربع 1\times 0\times 2m.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

اضرب -4 في 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

اضرب -4-4m^{2} في -R^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 4\left(1+m^{2}\right)R^{2}.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

اضرب 2 في 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

حل المعادلة x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} الآن عندما يكون ± موجباً.

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

حل المعادلة x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} الآن عندما يكون ± سالباً.

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

هناك حلان لـ x: \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} و-\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}. عوّض عن x بالقيمة \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} في المعادلة y=mx لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

اضرب m في \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

الآن عوض عن x بالقيمة -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} في المعادلة y=mx وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

اضرب m في -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$