حل {l}{x=7y+135}{y=4x}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 7 y + 135 } \\ { y = 4 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=-20$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$x-7y=135$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-7y=135$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$x=7y+135$$

عوّض عن x بالقيمة 7y+135 في المعادلة الأخرى، -4x+y=0.

$$-4\left(7y+135\right)+y=0$$

اضرب -4 في 7y+135.

$$-28y-540+y=0$$

اجمع -28y مع y.

$$-27y-540=0$$

أضف 540 إلى طرفي المعادلة.

$$-27y=540$$

قسمة طرفي المعادلة على -27.

$$y=-20$$

عوّض عن y بالقيمة -20 في x=7y+135. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=7\left(-20\right)+135$$

اضرب 7 في -20.

$$x=-140+135$$

اجمع 135 مع -140.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-20$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$x-7y=135$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&-\frac{7}{27}\\-\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 135\\-\frac{4}{27}\times 135\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=-20$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$x-7y=135$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

لجعل x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-4x-4\left(-7\right)y=-4\times 135,-4x+y=0$$

تبسيط.

$$-4x+28y=-540,-4x+y=0$$

اطرح -4x+y=0 من -4x+28y=-540 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+28y-y=-540$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$28y-y=-540$$

اجمع 28y مع -y.

$$27y=-540$$

قسمة طرفي المعادلة على 27.

$$y=-20$$

عوّض عن y بالقيمة -20 في -4x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x-20=0$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-20$$