حل {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+36-3y=0$$

اطرح 36 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-36$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=90$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+90$$

عوّض عن x بالقيمة -y+90 في المعادلة الأخرى، x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

اجمع -y مع -3y.

$$-4y+90=-36$$

اطرح 90 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-126$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{2} في x=-y+90. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

اجمع 90 مع -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+36-3y=0$$

اطرح 36 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-36$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+36-3y=0$$

اطرح 36 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-36$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

اطرح x-3y=-36 من x+y=90 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+3y=90+36$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+3y=90+36$$

اجمع y مع 3y.

$$4y=90+36$$

اجمع 90 مع 36.

$$4y=126$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{2} في x-3y=-36. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

اضرب -3 في \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

أضف \frac{189}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{117}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$