حل {l}{x+y=9}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=9,3x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -y+9 في المعادلة الأخرى، 3x+y=2.

$$3\left(-y+9\right)+y=2$$

اضرب 3 في -y+9.

$$-3y+27+y=2$$

اجمع -3y مع y.

$$-2y+27=2$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=\frac{25}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{2} في x=-y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{25}{2}+9$$

اجمع 9 مع -\frac{25}{2}.

$$x=-\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=9,3x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=9,3x+y=2$$

اطرح 3x+y=2 من x+y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-3x+y-y=9-2$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x-3x=9-2$$

اجمع x مع -3x.

$$-2x=9-2$$

اجمع 9 مع -2.

$$-2x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7}{2} في 3x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\left(-\frac{7}{2}\right)+y=2$$

اضرب 3 في -\frac{7}{2}.

$$-\frac{21}{2}+y=2$$

أضف \frac{21}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{25}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$