حل {l}{x+y=8}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=8$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -y+8 في المعادلة الأخرى، -3x+y=0.

$$-3\left(-y+8\right)+y=0$$

اضرب -3 في -y+8.

$$3y-24+y=0$$

اجمع 3y مع y.

$$4y-24=0$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$4y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6+8$$

اجمع 8 مع -6.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

اطرح -3x+y=0 من x+y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+3x+y-y=8$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+3x=8$$

اجمع x مع 3x.

$$4x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في -3x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-3\times 2+y=0$$

اضرب -3 في 2.

$$-6+y=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=6$$