حل {l}{x+y=8}{x+3y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=8,x+3y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=8$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -y+8 في المعادلة الأخرى، x+3y=14.

$$-y+8+3y=14$$

اجمع -y مع 3y.

$$2y+8=14$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$2y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3+8$$

اجمع 8 مع -3.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=8,x+3y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{1}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 14\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=8,x+3y=14$$

اطرح x+3y=14 من x+y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y-3y=8-14$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-3y=8-14$$

اجمع y مع -3y.

$$-2y=8-14$$

اجمع 8 مع -14.

$$-2y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x+3y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\times 3=14$$

اضرب 3 في 3.

$$x+9=14$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=3$$