حل {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=39$$

$$y=35$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=74$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+74$$

عوّض عن x بالقيمة -y+74 في المعادلة الأخرى، 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

اضرب 40 في -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

اجمع -40y مع 60y.

$$20y+2960=3660$$

اطرح 2960 من طرفي المعادلة.

$$20y=700$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$y=35$$

عوّض عن y بالقيمة 35 في x=-y+74. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-35+74$$

اجمع 74 مع -35.

$$x=39$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=39,y=35$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=39,y=35$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

لجعل x و40x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 40 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

تبسيط.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

اطرح 40x+60y=3660 من 40x+40y=2960 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

اجمع 40x مع -40x. حذف الحدين 40x و-40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y-60y=2960-3660$$

اجمع 40y مع -60y.

$$-20y=2960-3660$$

اجمع 2960 مع -3660.

$$-20y=-700$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=35$$

عوّض عن y بالقيمة 35 في 40x+60y=3660. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$40x+60\times 35=3660$$

اضرب 60 في 35.

$$40x+2100=3660$$

اطرح 2100 من طرفي المعادلة.

$$40x=1560$$

قسمة طرفي المعادلة على 40.

$$x=39$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=39,y=35$$