حل {l}{x+y=70}{70x+50y=4400}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { 70 x + 50 y = 4400 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=45$$

$$y=25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=70$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+70$$

عوّض عن x بالقيمة -y+70 في المعادلة الأخرى، 70x+50y=4400.

$$70\left(-y+70\right)+50y=4400$$

اضرب 70 في -y+70.

$$-70y+4900+50y=4400$$

اجمع -70y مع 50y.

$$-20y+4900=4400$$

اطرح 4900 من طرفي المعادلة.

$$-20y=-500$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في x=-y+70. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-25+70$$

اجمع 70 مع -25.

$$x=45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=45,y=25$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-70}&-\frac{1}{50-70}\\-\frac{70}{50-70}&\frac{1}{50-70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{20}\\\frac{7}{2}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 70+\frac{1}{20}\times 4400\\\frac{7}{2}\times 70-\frac{1}{20}\times 4400\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\25\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=45,y=25$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

لجعل x و70x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 70 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$70x+70y=70\times 70,70x+50y=4400$$

تبسيط.

$$70x+70y=4900,70x+50y=4400$$

اطرح 70x+50y=4400 من 70x+70y=4900 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$70x-70x+70y-50y=4900-4400$$

اجمع 70x مع -70x. حذف الحدين 70x و-70x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$70y-50y=4900-4400$$

اجمع 70y مع -50y.

$$20y=4900-4400$$

اجمع 4900 مع -4400.

$$20y=500$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في 70x+50y=4400. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$70x+50\times 25=4400$$

اضرب 50 في 25.

$$70x+1250=4400$$

اطرح 1250 من طرفي المعادلة.

$$70x=3150$$

قسمة طرفي المعادلة على 70.

$$x=45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=45,y=25$$