حل {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=500$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+500$$

عوّض عن x بالقيمة -y+500 في المعادلة الأخرى، 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

اضرب 25 في -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

اجمع -25y مع 35y.

$$10y+12500=1450$$

اطرح 12500 من طرفي المعادلة.

$$10y=-11050$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-1105$$

عوّض عن y بالقيمة -1105 في x=-y+500. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

اضرب -1 في -1105.

$$x=1105+500$$

اجمع 500 مع 1105.

$$x=1605$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1605,y=-1105$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1605,y=-1105$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

لجعل x و25x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 25 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

تبسيط.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

اطرح 25x+35y=1450 من 25x+25y=12500 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

اجمع 25x مع -25x. حذف الحدين 25x و-25x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y-35y=12500-1450$$

اجمع 25y مع -35y.

$$-10y=12500-1450$$

اجمع 12500 مع -1450.

$$-10y=11050$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-1105$$

عوّض عن y بالقيمة -1105 في 25x+35y=1450. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

اضرب 35 في -1105.

$$25x-38675=1450$$

أضف 38675 إلى طرفي المعادلة.

$$25x=40125$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=1605$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1605,y=-1105$$