حل {l}{x+y=50}{-3x+2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { - 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=50$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+50$$

عوّض عن x بالقيمة -y+50 في المعادلة الأخرى، -3x+2y=0.

$$-3\left(-y+50\right)+2y=0$$

اضرب -3 في -y+50.

$$3y-150+2y=0$$

اجمع 3y مع 2y.

$$5y-150=0$$

أضف 150 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=150$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=-y+50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-30+50$$

اجمع 50 مع -30.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 50\\\frac{3}{5}\times 50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=30$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3y=-3\times 50,-3x+2y=0$$

تبسيط.

$$-3x-3y=-150,-3x+2y=0$$

اطرح -3x+2y=0 من -3x-3y=-150 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x-3y-2y=-150$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-2y=-150$$

اجمع -3y مع -2y.

$$-5y=-150$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في -3x+2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\times 30=0$$

اضرب 2 في 30.

$$-3x+60=0$$

اطرح 60 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=30$$