حل {l}{x+y=5}{x+3y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=11$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=5,x+3y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -y+5 في المعادلة الأخرى، x+3y=-7.

$$-y+5+3y=-7$$

اجمع -y مع 3y.

$$2y+5=-7$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$2y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-6\right)+5$$

اضرب -1 في -6.

$$x=6+5$$

اجمع 5 مع 6.

$$x=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=5,x+3y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{1}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 5-\frac{1}{2}\left(-7\right)\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=11,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=5,x+3y=-7$$

اطرح x+3y=-7 من x+y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y-3y=5+7$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-3y=5+7$$

اجمع y مع -3y.

$$-2y=5+7$$

اجمع 5 مع 7.

$$-2y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x+3y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\left(-6\right)=-7$$

اضرب 3 في -6.

$$x-18=-7$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$x=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11,y=-6$$