حل {l}{x+y=48}{x-y=64}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 48 } \\ { x - y = 64 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=56$$

$$y=-8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=48,x-y=64$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=48$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+48$$

عوّض عن x بالقيمة -y+48 في المعادلة الأخرى، x-y=64.

$$-y+48-y=64$$

اجمع -y مع -y.

$$-2y+48=64$$

اطرح 48 من طرفي المعادلة.

$$-2y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في x=-y+48. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-8\right)+48$$

اضرب -1 في -8.

$$x=8+48$$

اجمع 48 مع 8.

$$x=56$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=56,y=-8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=48,x-y=64$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\64\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 48+\frac{1}{2}\times 64\\\frac{1}{2}\times 48-\frac{1}{2}\times 64\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\-8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=56,y=-8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=48,x-y=64$$

اطرح x-y=64 من x+y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+y=48-64$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+y=48-64$$

اجمع y مع y.

$$2y=48-64$$

اجمع 48 مع -64.

$$2y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في x-y=64. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-8\right)=64$$

اضرب -1 في -8.

$$x+8=64$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$x=56$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=56,y=-8$$