حل {l}{x+y=32}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 32 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{39}{2} = 19\frac{1}{2} = 19.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=32,x-y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=32$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+32$$

عوّض عن x بالقيمة -y+32 في المعادلة الأخرى، x-y=7.

$$-y+32-y=7$$

اجمع -y مع -y.

$$-2y+32=7$$

اطرح 32 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=\frac{25}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{2} في x=-y+32. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{25}{2}+32$$

اجمع 32 مع -\frac{25}{2}.

$$x=\frac{39}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{2},y=\frac{25}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=32,x-y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 32+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{1}{2}\times 32-\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{39}{2},y=\frac{25}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=32,x-y=7$$

اطرح x-y=7 من x+y=32 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+y=32-7$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+y=32-7$$

اجمع y مع y.

$$2y=32-7$$

اجمع 32 مع -7.

$$2y=25$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{25}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{2} في x-y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{25}{2}=7$$

أضف \frac{25}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{39}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{2},y=\frac{25}{2}$$