حل {l}{x+y=3}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=3,3x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=3$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -y+3 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=5.

$$3\left(-y+3\right)+2y=5$$

اضرب 3 في -y+3.

$$-3y+9+2y=5$$

اجمع -3y مع 2y.

$$-y+9=5$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4+3$$

اجمع 3 مع -4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=3,3x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 3+5\\3\times 3-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=3,3x+2y=5$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3y=3\times 3,3x+2y=5$$

تبسيط.

$$3x+3y=9,3x+2y=5$$

اطرح 3x+2y=5 من 3x+3y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+3y-2y=9-5$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-2y=9-5$$

اجمع 3y مع -2y.

$$y=9-5$$

اجمع 9 مع -5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times 4=5$$

اضرب 2 في 4.

$$3x+8=5$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=4$$