حل {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=250$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+250$$

عوّض عن x بالقيمة -y+250 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

اضرب \frac{1}{19} في -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

اجمع -\frac{y}{19} مع \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

اطرح \frac{250}{19} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{190}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{370}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{370}{3} في x=-y+250. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

اجمع 250 مع -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

لجعل x و\frac{x}{19} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{19} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

تبسيط.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

اطرح \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 من \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

اجمع \frac{x}{19} مع -\frac{x}{19}. حذف الحدين \frac{x}{19} و-\frac{x}{19}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

اجمع \frac{y}{19} مع -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

اجمع \frac{250}{19} مع -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{190}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{370}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{370}{3} في \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

اضرب \frac{1}{10} في \frac{370}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

اطرح \frac{37}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$