حل {l}{x+y=140}{0.2x+0.45y=49}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { 0.2 x + 0.45 y = 49 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=56$$

$$y=84$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=140$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+140$$

عوّض عن x بالقيمة -y+140 في المعادلة الأخرى، 0.2x+0.45y=49.

$$0.2\left(-y+140\right)+0.45y=49$$

اضرب 0.2 في -y+140.

$$-0.2y+28+0.45y=49$$

اجمع -\frac{y}{5} مع \frac{9y}{20}.

$$0.25y+28=49$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$0.25y=21$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=84$$

عوّض عن y بالقيمة 84 في x=-y+140. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-84+140$$

اجمع 140 مع -84.

$$x=56$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=56,y=84$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.45}{0.45-0.2}&-\frac{1}{0.45-0.2}\\-\frac{0.2}{0.45-0.2}&\frac{1}{0.45-0.2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8&-4\\-0.8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\times 140-4\times 49\\-0.8\times 140+4\times 49\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\84\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=56,y=84$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

لجعل x و\frac{x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$0.2x+0.2y=0.2\times 140,0.2x+0.45y=49$$

تبسيط.

$$0.2x+0.2y=28,0.2x+0.45y=49$$

اطرح 0.2x+0.45y=49 من 0.2x+0.2y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.2x-0.2x+0.2y-0.45y=28-49$$

اجمع \frac{x}{5} مع -\frac{x}{5}. حذف الحدين \frac{x}{5} و-\frac{x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.2y-0.45y=28-49$$

اجمع \frac{y}{5} مع -\frac{9y}{20}.

$$-0.25y=28-49$$

اجمع 28 مع -49.

$$-0.25y=-21$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=84$$

عوّض عن y بالقيمة 84 في 0.2x+0.45y=49. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.2x+0.45\times 84=49$$

اضرب 0.45 في 84.

$$0.2x+37.8=49$$

اطرح 37.8 من طرفي المعادلة.

$$0.2x=11.2$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$x=56$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=56,y=84$$