حل {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=85$$

$$y=45$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=130$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+130$$

عوّض عن x بالقيمة -y+130 في المعادلة الأخرى، 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

اضرب 20 في -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

اجمع -20y مع 5y.

$$-15y+2600=1925$$

اطرح 2600 من طرفي المعادلة.

$$-15y=-675$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في x=-y+130. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-45+130$$

اجمع 130 مع -45.

$$x=85$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=85,y=45$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=85,y=45$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

لجعل x و20x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 20 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

تبسيط.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

اطرح 20x+5y=1925 من 20x+20y=2600 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-5y=2600-1925$$

اجمع 20y مع -5y.

$$15y=2600-1925$$

اجمع 2600 مع -1925.

$$15y=675$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في 20x+5y=1925. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$20x+5\times 45=1925$$

اضرب 5 في 45.

$$20x+225=1925$$

اطرح 225 من طرفي المعادلة.

$$20x=1700$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=85$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=85,y=45$$