حل {l}{x+y=125}{x=2y-10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 125 } \\ { x = 2 y - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=80$$

$$y=45$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=-10$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=125$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+125$$

عوّض عن x بالقيمة -y+125 في المعادلة الأخرى، x-2y=-10.

$$-y+125-2y=-10$$

اجمع -y مع -2y.

$$-3y+125=-10$$

اطرح 125 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-135$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في x=-y+125. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-45+125$$

اجمع 125 مع -45.

$$x=80$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=80,y=45$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=-10$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 125+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 125-\frac{1}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\45\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=80,y=45$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=-10$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

اطرح x-2y=-10 من x+y=125 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+2y=125+10$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+2y=125+10$$

اجمع y مع 2y.

$$3y=125+10$$

اجمع 125 مع 10.

$$3y=135$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في x-2y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times 45=-10$$

اضرب -2 في 45.

$$x-90=-10$$

أضف 90 إلى طرفي المعادلة.

$$x=80$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=80,y=45$$