حل {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=637$$

$$y=-537$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=100$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+100$$

عوّض عن x بالقيمة -y+100 في المعادلة الأخرى، 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

اضرب 60 في -y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

اجمع -60y مع 70y.

$$10y+6000=630$$

اطرح 6000 من طرفي المعادلة.

$$10y=-5370$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-537$$

عوّض عن y بالقيمة -537 في x=-y+100. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

اضرب -1 في -537.

$$x=537+100$$

اجمع 100 مع 537.

$$x=637$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=637,y=-537$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=637,y=-537$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

لجعل x و60x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 60 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

تبسيط.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

اطرح 60x+70y=630 من 60x+60y=6000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

اجمع 60x مع -60x. حذف الحدين 60x و-60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$60y-70y=6000-630$$

اجمع 60y مع -70y.

$$-10y=6000-630$$

اجمع 6000 مع -630.

$$-10y=5370$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-537$$

عوّض عن y بالقيمة -537 في 60x+70y=630. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

اضرب 70 في -537.

$$60x-37590=630$$

أضف 37590 إلى طرفي المعادلة.

$$60x=38220$$

قسمة طرفي المعادلة على 60.

$$x=637$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=637,y=-537$$