حل {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=-6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -y-6 في المعادلة الأخرى، -3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

اضرب -3 في -y-6.

$$3y+18+y=-2$$

اجمع 3y مع y.

$$4y+18=-2$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$4y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

اضرب -1 في -5.

$$x=5-6$$

اجمع -6 مع 5.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

اطرح -3x+y=-2 من x+y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+3x=-6+2$$

اجمع x مع 3x.

$$4x=-6+2$$

اجمع -6 مع 2.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في -3x+y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

اضرب -3 في -1.

$$3+y=-2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$y=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-5$$