حل {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=-4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y-4$$

عوّض عن x بالقيمة -y-4 في المعادلة الأخرى، -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

اضرب -5 في -y-4.

$$5y+20+y=2$$

اجمع 5y مع y.

$$6y+20=2$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$6y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-y-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

اضرب -1 في -3.

$$x=3-4$$

اجمع -4 مع 3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

اطرح -5x+y=2 من x+y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+5x=-4-2$$

اجمع x مع 5x.

$$6x=-4-2$$

اجمع -4 مع -2.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في -5x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

اضرب -5 في -1.

$$5+y=2$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$