حل {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$x=-5y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+1 في المعادلة الأخرى، 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

اضرب 3 في -5y+1.

$$-15y+3+4y=4$$

اجمع -15y مع 4y.

$$-11y+3=4$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-11y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{11} في x=-5y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

اضرب -5 في -\frac{1}{11}.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

اجمع 1 مع \frac{5}{11}.

$$x=\frac{16}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

تبسيط.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

اطرح 3x+4y=4 من 3x+15y=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-4y=3-4$$

اجمع 15y مع -4y.

$$11y=3-4$$

اجمع 3 مع -4.

$$11y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{11} في 3x+4y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

اضرب 4 في -\frac{1}{11}.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

أضف \frac{4}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{48}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{16}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$