حل {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+5-3y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2-2x=0$$

إضافة 2 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$y-2x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3y=-5$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$x=3y-5$$

عوّض عن x بالقيمة 3y-5 في المعادلة الأخرى، -2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

اضرب -2 في 3y-5.

$$-6y+10+y=2$$

اجمع -6y مع y.

$$-5y+10=2$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{8}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{5} في x=3y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

اضرب 3 في \frac{8}{5}.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

اجمع -5 مع \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+5-3y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2-2x=0$$

إضافة 2 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$y-2x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+5-3y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2-2x=0$$

إضافة 2 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$y-2x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

تبسيط.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

اطرح -2x+y=2 من -2x+6y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-y=10-2$$

اجمع 6y مع -y.

$$5y=10-2$$

اجمع 10 مع -2.

$$5y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{8}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{5} في -2x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

اطرح \frac{8}{5} من طرفي المعادلة.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$