حل {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=41$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y+41$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+41 في المعادلة الأخرى، 4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

اضرب 4 في -4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

اجمع -16y مع 5y.

$$-11y+164=65$$

اطرح 164 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-99$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=-4y+41. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\times 9+41$$

اضرب -4 في 9.

$$x=-36+41$$

اجمع 41 مع -36.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

تبسيط.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

اطرح 4x+5y=65 من 4x+16y=164 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16y-5y=164-65$$

اجمع 16y مع -5y.

$$11y=164-65$$

اجمع 164 مع -65.

$$11y=99$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في 4x+5y=65. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\times 9=65$$

اضرب 5 في 9.

$$4x+45=65$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$