حل {l}{x+3y=7}{x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { x - y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+3y=7,x-y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$x=-3y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+7 في المعادلة الأخرى، x-y=9.

$$-3y+7-y=9$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y+7=9$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$-4y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في x=-3y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\left(-\frac{1}{2}\right)+7$$

اضرب -3 في -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}+7$$

اجمع 7 مع \frac{3}{2}.

$$x=\frac{17}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{2},y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+3y=7,x-y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\times 7-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{17}{2},y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+3y=7,x-y=9$$

اطرح x-y=9 من x+3y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+3y+y=7-9$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+y=7-9$$

اجمع 3y مع y.

$$4y=7-9$$

اجمع 7 مع -9.

$$4y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في x-y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-\frac{1}{2}\right)=9$$

اضرب -1 في -\frac{1}{2}.

$$x+\frac{1}{2}=9$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{17}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{2},y=-\frac{1}{2}$$