حل {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$x=-3y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+7 في المعادلة الأخرى، 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

اضرب 3 في -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

اجمع -9y مع y.

$$-8y+21=17$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$-8y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=-3y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

اضرب -3 في \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

اجمع 7 مع -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

تبسيط.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

اطرح 3x+y=17 من 3x+9y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-y=21-17$$

اجمع 9y مع -y.

$$8y=21-17$$

اجمع 21 مع -17.

$$8y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في 3x+y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{33}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$