حل {l}{x+3y=14}{y=-4x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { y = - 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+3y=14$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$x=-3y+14$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+14 في المعادلة الأخرى، 4x+y=1.

$$4\left(-3y+14\right)+y=1$$

اضرب 4 في -3y+14.

$$-12y+56+y=1$$

اجمع -12y مع y.

$$-11y+56=1$$

اطرح 56 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-55$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-3y+14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\times 5+14$$

اضرب -3 في 5.

$$x=-15+14$$

اجمع 14 مع -15.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 14+\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}\times 14-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x+y=1$$

تبسيط.

$$4x+12y=56,4x+y=1$$

اطرح 4x+y=1 من 4x+12y=56 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+12y-y=56-1$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-y=56-1$$

اجمع 12y مع -y.

$$11y=56-1$$

اجمع 56 مع -1.

$$11y=55$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 4x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5=1$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$