حل {l}{x+2y=8}{x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=8$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+8 في المعادلة الأخرى، x-3y=9.

$$-2y+8-3y=9$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y+8=9$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-5y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{5} في x=-2y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

اضرب -2 في -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{2}{5}+8$$

اجمع 8 مع \frac{2}{5}.

$$x=\frac{42}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

اطرح x-3y=9 من x+2y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+2y+3y=8-9$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+3y=8-9$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y=8-9$$

اجمع 8 مع -9.

$$5y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{5} في x-3y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

اضرب -3 في -\frac{1}{5}.

$$x+\frac{3}{5}=9$$

اطرح \frac{3}{5} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{42}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$