حل {l}{x+2y=7}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=7,2x-y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+7 في المعادلة الأخرى، 2x-y=5.

$$2\left(-2y+7\right)-y=5$$

اضرب 2 في -2y+7.

$$-4y+14-y=5$$

اجمع -4y مع -y.

$$-5y+14=5$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في x=-2y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{9}{5}+7$$

اضرب -2 في \frac{9}{5}.

$$x=-\frac{18}{5}+7$$

اجمع 7 مع -\frac{18}{5}.

$$x=\frac{17}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=7,2x-y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=7,2x-y=5$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 7,2x-y=5$$

تبسيط.

$$2x+4y=14,2x-y=5$$

اطرح 2x-y=5 من 2x+4y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+4y+y=14-5$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+y=14-5$$

اجمع 4y مع y.

$$5y=14-5$$

اجمع 14 مع -5.

$$5y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في 2x-y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{9}{5}=5$$

أضف \frac{9}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{34}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{17}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{9}{5}$$