حل {l}{x+2y=5}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=5,x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=5$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+5 في المعادلة الأخرى، x-y=4.

$$-2y+5-y=4$$

اجمع -2y مع -y.

$$-3y+5=4$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x=-2y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+5$$

اضرب -2 في \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{2}{3}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{13}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=5,x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=5,x-y=4$$

اطرح x-y=4 من x+2y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+2y+y=5-4$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+y=5-4$$

اجمع 2y مع y.

$$3y=5-4$$

اجمع 5 مع -4.

$$3y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{1}{3}=4$$

أضف \frac{1}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{13}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$