حل {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=4$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+4 في المعادلة الأخرى، -2x+y=7.

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

اضرب -2 في -2y+4.

$$4y-8+y=7$$

اجمع 4y مع y.

$$5y-8=7$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-2y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 3+4$$

اضرب -2 في 3.

$$x=-6+4$$

اجمع 4 مع -6.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

تبسيط.

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

اطرح -2x+y=7 من -2x-4y=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-y=-8-7$$

اجمع -4y مع -y.

$$-5y=-8-7$$

اجمع -8 مع -7.

$$-5y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في -2x+y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+3=7$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=3$$