حل {l}{x+2y=3}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=3$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+3 في المعادلة الأخرى، 5x-y=10.

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

اضرب 5 في -2y+3.

$$-10y+15-y=10$$

اجمع -10y مع -y.

$$-11y+15=10$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{11} في x=-2y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

اضرب -2 في \frac{5}{11}.

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

اجمع 3 مع -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{23}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

تبسيط.

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

اطرح 5x-y=10 من 5x+10y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+y=15-10$$

اجمع 10y مع y.

$$11y=15-10$$

اجمع 15 مع -10.

$$11y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{11} في 5x-y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

أضف \frac{5}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{115}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{23}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$