حل {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=10$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+10 في المعادلة الأخرى، -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

اضرب -2 في -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

اجمع 4y مع 3y.

$$7y-20=5$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$7y=25$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{7} في x=-2y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

اضرب -2 في \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

اجمع 10 مع -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

تبسيط.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

اطرح -2x+3y=5 من -2x-4y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-3y=-20-5$$

اجمع -4y مع -3y.

$$-7y=-20-5$$

اجمع -20 مع -5.

$$-7y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{7} في -2x+3y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

اضرب 3 في \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

اطرح \frac{75}{7} من طرفي المعادلة.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$