حل {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=1$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+1 في المعادلة الأخرى، -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

اضرب -4 في -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

اجمع 8y مع y.

$$9y-4=-5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{9} في x=-2y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

اضرب -2 في -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

اجمع 1 مع \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

لجعل x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

تبسيط.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

اطرح -4x+y=-5 من -4x-8y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-y=-4+5$$

اجمع -8y مع -y.

$$-9y=-4+5$$

اجمع -4 مع 5.

$$-9y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{9} في -4x+y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

أضف \frac{1}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$