حل {l}{x+2y=1}{3x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=1$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+1 في المعادلة الأخرى، 3x+y=0.

$$3\left(-2y+1\right)+y=0$$

اضرب 3 في -2y+1.

$$-6y+3+y=0$$

اجمع -6y مع y.

$$-5y+3=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{5} في x=-2y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{3}{5}+1$$

اضرب -2 في \frac{3}{5}.

$$x=-\frac{6}{5}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{6}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 2y=3,3x+y=0$$

تبسيط.

$$3x+6y=3,3x+y=0$$

اطرح 3x+y=0 من 3x+6y=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+6y-y=3$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-y=3$$

اجمع 6y مع -y.

$$5y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{5} في 3x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+\frac{3}{5}=0$$

اطرح \frac{3}{5} من طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{3}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{1}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$