حل {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{3}{2}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=-8$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y-8$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-8 في المعادلة الأخرى، \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

اضرب \frac{3}{2} في -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

اجمع -3y مع y.

$$-2y-12=-2$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-2y-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

اضرب -2 في -5.

$$x=10-8$$

اجمع -8 مع 10.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{3}{2}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{3}{2}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

لجعل x و\frac{3x}{2} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{3}{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

تبسيط.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

اطرح \frac{3}{2}x+y=-2 من \frac{3}{2}x+3y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

اجمع \frac{3x}{2} مع -\frac{3x}{2}. حذف الحدين \frac{3x}{2} و-\frac{3x}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-y=-12+2$$

اجمع 3y مع -y.

$$2y=-12+2$$

اجمع -12 مع 2.

$$2y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في \frac{3}{2}x+y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}x=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-5$$