حل {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y+3=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$x+2y=-3$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y-3$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-3 في المعادلة الأخرى، 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

اضرب 4 في -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

اجمع -8y مع 5y.

$$-3y-12+6=0$$

اجمع -12 مع 6.

$$-3y-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-3y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-2y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

اضرب -2 في -2.

$$x=4-3$$

اجمع -3 مع 4.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

تبسيط.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

اطرح 4x+5y+6=0 من 4x+8y+12=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-5y+12-6=0$$

اجمع 8y مع -5y.

$$3y+12-6=0$$

اجمع 12 مع -6.

$$3y+6=0$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$3y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 4x+5y+6=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

اضرب 5 في -2.

$$4x-10+6=0$$

اجمع -10 مع 6.

$$4x-4=0$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$