حل {l}{r*3x+5y+10=0}{5:3x+5y+10=0}

$$\left. \begin{array} { l } { r \cdot 3 x + 5 y + 10 = 0 } \\ { 5 : 3 x + 5 y + 10 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=-2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=-3y-6\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&r=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3rx+5y+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$3rx+5y=-10$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3rx=-5y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3r.

$$x=\frac{1}{3r}\left(-5y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{3r} في -5y-10.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5\left(2+y\right)}{3r} في المعادلة الأخرى، \frac{5}{3}x+5y+10=0.

$$\frac{5}{3}\left(\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}\right)+5y+10=0$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{5\left(2+y\right)}{3r}.

$$\left(-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+5y+10=0$$

اجمع -\frac{25y}{9r} مع 5y.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+10=0$$

اجمع -\frac{50}{9r} مع 10.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y+10-\frac{50}{9r}=0$$

اطرح 10-\frac{50}{9r} من طرفي المعادلة.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y=-10+\frac{50}{9r}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5-\frac{25}{9r}.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)\left(-2\right)-\frac{10}{3r}$$

اضرب -\frac{5}{3r} في -2.

$$x=\frac{10-10}{3r}$$

اجمع -\frac{10}{3r} مع \frac{10}{3r}.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&-\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&\frac{3r}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}&-\frac{3}{9r-5}\\-\frac{1}{9r-5}&\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}\left(-10\right)+\left(-\frac{3}{9r-5}\right)\left(-10\right)\\\left(-\frac{1}{9r-5}\right)\left(-10\right)+\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

اطرح \frac{5}{3}x+5y+10=0 من 3rx+5y+10=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3rx-\frac{5}{3}x+5y-5y+10-10=0$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3rx-\frac{5}{3}x+10-10=0$$

اجمع 3rx مع -\frac{5x}{3}.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x+10-10=0$$

اجمع 10 مع -10.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3r-\frac{5}{3}.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في \frac{5}{3}x+5y+10=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$5y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$