حل {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل n، y

$$y=4$$

$$n=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة n بعزل n على يسار علامة التساوي.

$$n+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$n=-y+4$$

عوّض عن n بالقيمة -y+4 في المعادلة الأخرى، 2n+3y=12.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

اضرب 2 في -y+4.

$$-2y+8+3y=12$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y+8=12$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في n=-y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة n مباشرةً.

$$n=-4+4$$

اجمع 4 مع -4.

$$n=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$n=0,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة n وy.

$$n=0,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

لجعل n و2n متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

تبسيط.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

اطرح 2n+3y=12 من 2n+2y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

اجمع 2n مع -2n. حذف الحدين 2n و-2n، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-3y=8-12$$

اجمع 2y مع -3y.

$$-y=8-12$$

اجمع 8 مع -12.

$$-y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 2n+3y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة n مباشرةً.

$$2n+3\times 4=12$$

اضرب 3 في 4.

$$2n+12=12$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$2n=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$n=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$n=0,y=4$$