حل {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$mx-y+1-3m=0$$

اطرح -3m+1 من طرفي المعادلة.

$$mx-y=3m-1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$mx=y+3m-1$$

قسمة طرفي المعادلة على m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

اضرب \frac{1}{m} في y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y-1+3m}{m} في المعادلة الأخرى، x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

اجمع \frac{y}{m} مع my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

اجمع 3-\frac{1}{m} مع -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

اطرح 2-\frac{1}{m}-3m من طرفي المعادلة.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

قسمة طرفي المعادلة على m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} في x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

اضرب \frac{1}{m} في \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

اجمع 3-\frac{1}{m} مع \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

لجعل mx وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

تبسيط.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

اطرح mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 من mx-y+1-3m=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع mx مع -mx. حذف الحدين mx و-mx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع -y مع -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع -3m+1 مع m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

اطرح -2m+1+3m^{2} من طرفي المعادلة.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} في x+my-3m-1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

اضرب m في -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

اجمع -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} مع -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

أضف \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$mx-y+1-3m=0$$

اطرح -3m+1 من طرفي المعادلة.

$$mx-y=3m-1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$mx=y+3m-1$$

قسمة طرفي المعادلة على m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

اضرب \frac{1}{m} في y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y-1+3m}{m} في المعادلة الأخرى، x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

اجمع \frac{y}{m} مع my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

اجمع 3-\frac{1}{m} مع -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

اطرح 2-\frac{1}{m}-3m من طرفي المعادلة.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

قسمة طرفي المعادلة على m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} في x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

اضرب \frac{1}{m} في \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

اجمع 3-\frac{1}{m} مع \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

لجعل mx وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

تبسيط.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

اطرح mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 من mx-y+1-3m=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع mx مع -mx. حذف الحدين mx و-mx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع -y مع -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

اجمع -3m+1 مع m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

اطرح -2m+1+3m^{2} من طرفي المعادلة.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} في x+my-3m-1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

اضرب m في -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

اجمع -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} مع -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

أضف \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$