حل {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

أضف ny إلى طرفي المعادلة.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

اضرب \frac{1}{m} في ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} في المعادلة الأخرى، x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

اجمع \frac{ny}{m} مع y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

اطرح m+\frac{n^{2}}{m} من طرفي المعادلة.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

عوّض عن y بالقيمة m-n في x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

اضرب \frac{n}{m} في m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

اجمع m+\frac{n^{2}}{m} مع \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=m+n,y=m-n$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=m+n,y=m-n$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

لجعل mx وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

تبسيط.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

اطرح mx+my=2m^{2} من mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع mx مع -mx. حذف الحدين mx و-mx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع -ny مع -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع m^{2}+n^{2} مع -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

قسمة طرفي المعادلة على -m-n.

$$y=m-n$$

عوّض عن y بالقيمة m-n في x+y=2m. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+m-n=2m$$

اطرح m-n من طرفي المعادلة.

$$x=m+n$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=m+n,y=m-n$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

أضف ny إلى طرفي المعادلة.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

اضرب \frac{1}{m} في ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} في المعادلة الأخرى، x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

اجمع \frac{ny}{m} مع y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

اطرح m+\frac{n^{2}}{m} من طرفي المعادلة.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

عوّض عن y بالقيمة m-n في x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

اضرب \frac{n}{m} في m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

اجمع m+\frac{n^{2}}{m} مع \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=m+n,y=m-n$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=m+n,y=m-n$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

لجعل mx وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

تبسيط.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

اطرح mx+my=2m^{2} من mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع mx مع -mx. حذف الحدين mx و-mx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع -ny مع -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

اجمع m^{2}+n^{2} مع -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

قسمة طرفي المعادلة على -m-n.

$$y=m-n$$

عوّض عن y بالقيمة m-n في x+y=2m. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+m-n=2m$$

اطرح m-n من طرفي المعادلة.

$$x=m+n$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=m+n,y=m-n$$