حل {l}{m-3n=1}{m+3n=5}

$$\left. \begin{array} { l } { m - 3 n = 1 } \\ { m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=3$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m-3n=1$$

أضف 3n إلى طرفي المعادلة.

$$m=3n+1$$

عوّض عن m بالقيمة 3n+1 في المعادلة الأخرى، m+3n=5.

$$3n+1+3n=5$$

اجمع 3n مع 3n.

$$6n+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$6n=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$n=\frac{2}{3}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{2}{3} في m=3n+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=3\times \frac{2}{3}+1$$

اضرب 3 في \frac{2}{3}.

$$m=2+1$$

اجمع 1 مع 2.

$$m=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

اطرح m+3n=5 من m-3n=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$m-m-3n-3n=1-5$$

اجمع m مع -m. حذف الحدين m و-m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3n-3n=1-5$$

اجمع -3n مع -3n.

$$-6n=1-5$$

اجمع 1 مع -5.

$$-6n=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$n=\frac{2}{3}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{2}{3} في m+3n=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m+3\times \frac{2}{3}=5$$

اضرب 3 في \frac{2}{3}.

$$m+2=5$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$m=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$