حل {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m+n=1$$

اطرح n من طرفي المعادلة.

$$m=-n+1$$

عوّض عن m بالقيمة -n+1 في المعادلة الأخرى، -3m+2n=-2.

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

اضرب -3 في -n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

اجمع 3n مع 2n.

$$5n-3=-2$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$5n=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$n=\frac{1}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{1}{5} في m=-n+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

لجعل m و-3m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

اطرح -3m+2n=-2 من -3m-3n=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

اجمع -3m مع 3m. حذف الحدين -3m و3m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3n-2n=-3+2$$

اجمع -3n مع -2n.

$$-5n=-3+2$$

اجمع -3 مع 2.

$$-5n=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$n=\frac{1}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{1}{5} في -3m+2n=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

اضرب 2 في \frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

اطرح \frac{2}{5} من طرفي المعادلة.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$m=\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$