حل {l}{m+n=-1}{2n-3m=2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = - 1 } \\ { 2 n - 3 m = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$n=-\frac{1}{5}=-0.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m+n=-1$$

اطرح n من طرفي المعادلة.

$$m=-n-1$$

عوّض عن m بالقيمة -n-1 في المعادلة الأخرى، -3m+2n=2.

$$-3\left(-n-1\right)+2n=2$$

اضرب -3 في -n-1.

$$3n+3+2n=2$$

اجمع 3n مع 2n.

$$5n+3=2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$5n=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$n=-\frac{1}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{1}{5} في m=-n-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\left(-\frac{1}{5}\right)-1$$

اضرب -1 في -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{1}{5}-1$$

اجمع -1 مع \frac{1}{5}.

$$m=-\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

لجعل m و-3m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3m-3n=-3\left(-1\right),-3m+2n=2$$

تبسيط.

$$-3m-3n=3,-3m+2n=2$$

اطرح -3m+2n=2 من -3m-3n=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3m+3m-3n-2n=3-2$$

اجمع -3m مع 3m. حذف الحدين -3m و3m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3n-2n=3-2$$

اجمع -3n مع -2n.

$$-5n=3-2$$

اجمع 3 مع -2.

$$-5n=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$n=-\frac{1}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{1}{5} في -3m+2n=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$-3m+2\left(-\frac{1}{5}\right)=2$$

اضرب 2 في -\frac{1}{5}.

$$-3m-\frac{2}{5}=2$$

أضف \frac{2}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-3m=\frac{12}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$m=-\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$