حل {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=-1$$

$$n=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m+2n=5$$

اطرح 2n من طرفي المعادلة.

$$m=-2n+5$$

عوّض عن m بالقيمة -2n+5 في المعادلة الأخرى، -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

اضرب -2 في -2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

اجمع 4n مع n.

$$5n-10+2=7$$

اجمع -10 مع 2.

$$5n-8=7$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$5n=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$n=3$$

عوّض عن n بالقيمة 3 في m=-2n+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-2\times 3+5$$

اضرب -2 في 3.

$$m=-6+5$$

اجمع 5 مع -6.

$$m=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-1,n=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=-1,n=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

لجعل m و-2m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

تبسيط.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

اطرح -2m+n+2=7 من -2m-4n=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

اجمع -2m مع 2m. حذف الحدين -2m و2m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4n-n-2=-10-7$$

اجمع -4n مع -n.

$$-5n-2=-10-7$$

اجمع -10 مع -7.

$$-5n-2=-17$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-5n=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$n=3$$

عوّض عن n بالقيمة 3 في -2m+n+2=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$-2m+3+2=7$$

اجمع 3 مع 2.

$$-2m+5=7$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-2m=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$m=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-1,n=3$$