حل {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$fx-y=7$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$fx=y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{f} في y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7+y}{f} في المعادلة الأخرى، -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

اضرب -9 في \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

اجمع -\frac{9y}{f} مع fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

أضف \frac{63}{f} إلى طرفي المعادلة.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

قسمة طرفي المعادلة على f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63+8f}{f^{2}-9} في x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

اضرب \frac{1}{f} في \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

اجمع \frac{7}{f} مع \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

لجعل fx و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

تبسيط.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

اطرح \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f من \left(-9f\right)x+9y=-63 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع -9fx مع 9fx. حذف الحدين -9fx و9fx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع 9y مع -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع -63 مع -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

قسمة طرفي المعادلة على -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{63+8f}{9-f^{2}} في -9x+fy=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

اضرب f في -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

أضف \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$fx-y=7$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$fx=y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{f} في y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7+y}{f} في المعادلة الأخرى، -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

اضرب -9 في \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

اجمع -\frac{9y}{f} مع fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

أضف \frac{63}{f} إلى طرفي المعادلة.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

قسمة طرفي المعادلة على f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63+8f}{f^{2}-9} في x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

اضرب \frac{1}{f} في \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

اجمع \frac{7}{f} مع \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$fx-y=7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$fy-9x=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

لجعل fx و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

تبسيط.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

اطرح \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f من \left(-9f\right)x+9y=-63 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع -9fx مع 9fx. حذف الحدين -9fx و9fx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع 9y مع -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

اجمع -63 مع -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

قسمة طرفي المعادلة على -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{63+8f}{9-f^{2}} في -9x+fy=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

اضرب f في -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

أضف \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$